WWW.INFO.Z-PDF.RU
БИБЛИОТЕКА  БЕСПЛАТНЫХ  МАТЕРИАЛОВ - Интернет документы
 


«1. Напряжения. Тензор напряжений. Многие механические свойства выражаются через величину напряжений. В механике напряжения обычно ...»

ОБЩИЕ ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ

1. Напряжения. Тензор напряжений.

Многие механические свойства выражаются через величину напряжений. В механике напряжения обычно рассматривают как удельные характеристики сил, возникающих в теле под действием внешних нагрузок.

Напряжение является, таким образом, удельной величиной и в простейшем случае осевого растяжения стержня (рис. 1) определяется как отношение

S=P/F,(1)

где S — напряжение в сечении площадью F, перпендикулярном оси образца, вдоль которой действует сила Р, выражаемая в ньютонах (Н) или килограмм-силах (кгс).

Рис. 1. Схема определения напряжений

В системе СИ напряжения выражаются в мегапаскалях (МПа) или Н/мм2 (1 МПа = 1 Н/мм2). По-прежнему широко используется размерность напряжений в металлах кгс/мм2 (1 кгс/мм2 = 9,8 МПа 10 МПа 10 Н/мм2).

Для определения величины напряжений в каком-то сечении тела последнее мысленно разделяют на две части, одну часть удаляют, а ее действие на оставшуюся часть тела заменяют внутренними силами (рис. 2, а).

Рис. 1. Схемы определения составляющих полного напряжения

В общем случае сила P не перпендикулярна плоскости площадки, на которую она действует. Тогда ее, как и любой вектор, можно разложить на две составляющие: нормальную (перпендикулярную к площадке), создающую нормальное напряжение S, и касательную, действующую в плоскости площадки и вызывающую касательное напряжение t (рис. 2, б). В механических испытаниях определяют именно эти напряжения. Их же используют в расчетах на прочность. Это связано с тем, что одни процессы при деформации и разрушении определяются касательными напряжениями (пластическая деформация, разрушение путем среза), а другие — нормальными (разрушение отрывом).

Из рис. 2,6 следует, что полное напряжение Sп, действующее в заштрихованном сечении площадью F, нормаль к которому образует угол с направлением внешней силы Р, равно

Sп=P/F.

Поскольку F=F0/cos (F0 — площадь сечения, перпендикулярного оси растяжения), то Sп=(P/F0) cos.

Тогда нормальное напряжение в сечении F

S=(P/F0) cos2,(2)

а касательное

t=(P/F0) cos sin =(1/2) (P/F0) sin 2.(3)

Из уравнений (2) и (3) следует, что при осевом растяжении максимальные нормальные растяжения возникают при =0, т.е. в площадках, перпендикулярных оси растяжения, а касательные напряжения достигают наибольших значений при =45°.

Напряжения могут быть истинными и условными. Известно, что в процессе деформации величина площадки, на которой действуют напряжения, меняется. Если напряжение рассчитывают как отношение нагрузки в к исходной площади сечения, то такое напряжение называют условным.

Если же относят силу к величине фактического, то получают истинное напряжение. Физический смысл имеют только истинные напряжения, но на практике часто более удобно пользоваться условными. Это особенно оправдано при малой степени деформации, когда изменение площади сечения невелико. Истинные напряжения обозначают символами S (нормальные) и t (касательные), а условные — и соответственно.

При решении реальных задач нельзя ограничиться знанием величины напряжений в каком-то определенном сечении. Необходимо иметь возможность оценить напряжения, действующие в любом сечении тела. Для этого используют представление о тензоре напряжений.

Внутри тела, находящегося под действием напряжений, всегда можно выделить бесконечно малый параллелепипед, ребра которого параллельны произвольно выбранным осям координат. В общем случае на три его непараллельные грани действуют взаимно уравновешенные векторы напряжений, которые можно разложить на составляющие (рис. 3).





Рис. 3. Взаимно уравновешенные напряжения, действующие на грани бесконечно

малого параллелепипеда

В результате параллелепипед находится под действием девяти напряжений: трех нормальных (Sx, Sy, Sz) и шести касательных (txy, txz, tyx, tyz, tzx, tzy).

Совокупность этих напряжений и есть тензор напряжений второго ранга, который записывается в виде матрицы

S= SxtxytxztyxSytyztzxtzySz.(4)

В строках записываются компоненты тензора, действующие на одной площадке, в столбцах – вдоль одной оси.

Чтобы параллелепипед находился в равновесии, необходимо равенство моментов относительно координатных осей. Поэтому txy=tyx, tyz=tzy и txz=tzx (закон парности касательных напряжений). Следовательно, записанный выше тензор содержит фактически не девять, а шесть независимых напряжений. С их помощью можно охарактеризовать любое сложнонапряженное состояние. Тензор позволяет определить величину нормальных и касательных напряжений в любой площадке, проходящей через данную точку тела, если известны ее направляющие косинусы (косинус угла между нормалью к площадке и соответствующей осью координат) относительно выбранных координатных осей.

Направление этих осей определяет величину напряжений в матрице тензора (его компонент). Сам тензор является инвариантным объектом, т.е. не изменяется при переходе от одной системы координат к другой, по аналогии с вектором, который является тензором первого ранга. Изменяются по определенному тензорному закону только его компоненты. Однако в дальнейшем для краткости тензором будет называться совокупность его компонент – матрица.

В теории упругости доказывается, что при любом напряженном состоянии через каждую точку тела можно провести, по меньшей мере, три взаимно перпендикулярные площадки, на которых касательные напряжения нулевые и, следовательно, действуют только нормальные напряжения. Если мысленно вращать элементарный параллелепипед с жестко связанной с ним декартовой системой координат вокруг рассматриваемой точки, то значения компонент тензора напряжений будут изменяться. Доказано, что существует хотя бы одно положение параллелепипеда, при котором касательные компоненты обращаются в ноль, а нормальные становятся максимальными.

Например, при осевом растяжении из формулы (3) следует, что t=0 при =90° и 0, т. е. в трех взаимно перпендикулярных площадках, две из которых параллельны оси растяжения и одна перпендикулярна к ней. Такие площадки и направления нормалей к ним называются главными площадками и главными направлениями (осями) напряжений, а действующие на этих площадках напряжения — главными нормальными напряжениями.

При механических испытаниях главные направления напряжений обычно заранее известны и их можно выбрать в качестве координатных осей. Тогда матрица тензора напряжений упрощается и принимает диагональный вид

S= S1000S2000S3,

где S1, S3 и S2 — наибольшее, наименьшее и среднее главные нормальные напряжения. Например, если главные напряжения равны -14 (сжимающее), +6 (растягивающее) и -27 (сжимающее), то S1= +6, S2= -14, S3= -27.

При таком упрощенном тензоре напряжений нормальные и касательные напряжения в заданной площадке с направляющими косинусами ах, ау, аz рассчитывают по следующим формулам:

S=ax2S1+ay2S2 + az2S3 ;(5)

t2=ax2S12+ay2S22 + az2S32-ax2S1+ay2S2 + az2S32.(6)

Как уже отмечалось, максимальные касательные напряжения действуют на площадках, расположенных под углом 45° к главным осям. Их величина равна полуразности соответствующих главных нормальных напряжений

tmax =(Smax-Smin)/2.(7)

Главные касательные напряжения, действующие на трех взаимно перпендикулярных площадках, расположенных под углом 45° к главным осям, рассчитывают по формулам:

t1 =(S2-S3)/2; t2 =(S1-S3)/2; t3 =(S1-S2)/2.2. Деформации. Тензор деформацийПод действием напряжений происходит деформация твердого тела, т.е изменение его формы и размеров. Деформации, исчезающие после снятия напряжений, называют упругими, а сохраняющиеся — остаточными. По результатам механических испытаний оценивают различные характеристики деформации: удлинение, сужение, стрела прогиба при изгибе, сдвиг.

Увеличение длины образца в результате деформации обычно характеризуют условным относительным удлинением, %:

=(lк-l0)/l0=l//l0(8)

где lк и l0 – начальная и конечная длины образца; l — абсолютное удлинение (рис. 4, а).

Рис. 4. Удлинение (а) и сдвиг (б) при деформации

Величина является условной характеристикой, поскольку деформация с самого начала развивается на непрерывно изменяющейся длине и отношение l//l0 лишено физического смысла.

Истинная деформация определяется как. Если ldl, то. Так как, то. В результате истинная деформация равна.

Разница между и е растет с увеличением степени деформации. При =25 % е=ln 1,25=22 %, а при =100 % е=ln2=69 %. В области малых деформаций 6е.

Удлинение и укорочение образца обычно происходят под действием нормальных напряжений. Касательные напряжения вызывают сдвиговые деформации, которые оценивают по углу сдвига (в радианах) или по величине относительного сдвига g=tg (рис. 4,б).

Относительные удлинения и сдвиги (e и g) — фундаментальные характеристики деформации, которые используются в теориях упругости и пластичности. Совокупность удлинений и сдвигов — тензор деформаций — по аналогии с тензором напряжений характеризует любое деформированное состояние в данной точке и позволяет определять е в любом направлении и g в любой плоскости.

В общем случае тензор деформаций характеризуется девятью компонентами — тремя удлинениями и шестью сдвигами, из которых только шесть независимых, так как gxy=gyx, gyz=gzy и gxz=gzx:

g =ex12gxy12gxz12gyxey12gyz12gzx12gzyez.

В случае, если три главных направления деформации (в которых сдвиги равны нулю) заранее известны и их можно совместить с координатными осями, тензор деформации характеризуется совокупностью трех главных удлинений

g =e1000e2000e3,где e1 и е3 — наибольшее и наименьшее удлинение.

Зная тензор деформации в данной точке тела, можно оценить относительную деформацию в любом направлении, исходящем из этой точки. Например, удлинение в направлении, которое характеризуется направляющими косинусами ах, ау, и аz рассчитывается как ei=ax2e2+ay2e1 + az2e3.Максимальные сдвиги происходят в направлениях, делящих пополам углы между направлениями главных удлинений: g1 =e1-e3; g2 =e1-e2; g3 =e2-e3. Эти три максимальных сдвига называют главными сдвигами.

Широко используемой характеристикой деформации является относительное сужение

=(F0-Fк)/ F0,(9)

где F0 и Fк — начальная и конечная площади поперечного сечения образца.

3. Схемы напряженного и деформированного состояния при механических испытаниях различных видов

Результаты механических испытаний в значительной мере определяются схемой напряженного состояния, которая задается в образце условиями его нагружения. Один и тот же материал может проявлять резко различные характеристики прочности и пластичности, если его испытывать при разных схемах напряженного состояния. Всего существует восемь схем. Они сведены в табл. 1 вместе с соответствующими тензорами напряжений и примерами реализации в различных испытаниях и условиях эксплуатации.

Приведенные в табл. 1 схемы применимы, строго говоря, лишь в области упругой и равномерной деформации. В процессе реальных испытаний, особенно после начала сосредоточенной пластической деформации, эти схемы могут значительно изменяться.

Помимо напряженного, важное значение при механических испытаниях имеет деформированное состояние, возникающее в материале образца (табл. 2).

Во многих случаях испытаний деформированное состояние гораздо сложнее, чем напряженное. Например, при одноосном растяжении гладкого образца возникает линейная схема напряженного состояния (см. табл. 1), но объемное деформированное состояние (см. табл. 2), поскольку под действием растягивающего усилия стержень не только удлиняется, но и сужается (укорачивается) в двух поперечных направлениях — вдоль осей х и у.

Бывают и противоположные ситуации. При растяжении массивного (широкого и толстого) образца с надрезом и трещиной, у ее вершины возникает объемное напряженное, но плоское деформированное состояние (S1 > 0, S2 > 0, S3 >0, е1 > 0, е2 > 0, е3 = 0). Иногда схемы напряженного и деформированного состояний совпадают (по количеству и знаку компонентов тензоров), например, при гидростатическом сжатии, кручении цилиндрического стержня.

Схема напряженного состояния влияет на механические свойства и особенно на характеристики деформации (пластичности) через соотношение сжимающих и растягивающих напряжений. Сжимающие напряжения в большей мере способствуют проявлению пластичности, чем растягивающие (в условиях гидростатического сжатия разрушения вообще не происходит). Поэтому чем больше роль сжимающих напряжений в схеме напряженного состояния, тем она считается «мягче», так как при ее реализации деформационная способность материала больше.

Для количественной оценки «мягкости» схемы напряженного состояния Я. Б. Фридман предложил рассчитывать специальный коэффициент мягкости

= tmax/Smax,(10)

где tmax — максимальное касательное напряжение по формуле (7); Smax — наибольшее приведенное главное нормальное напряжение.

Смысл отношения tmax/Smax как характеристики «мягкости» схемы напряженного состояния сводится к следующему. Величина tmax определяет легкость начала пластической деформации, а Smax — хрупкого отрыва. Если tmax > Smax, то при нагружении образца, прежде чем произойдет хрупкое разрушение, начнется пластическая деформация, и хрупкий отрыв будет предотвращен. Если же tmax < Smax разрушение может произойти до появления пластической деформации.

Вопросы для разработки

Понятие о механических напряжениях.

Тензор напряжений.

Понятие о деформациях.

Схемы напряженного состояния.

Рассчитать нормальные напряжения, действующие на следующие площадки в элементарном кубе:

- 6 граней;

- 6 диагональных сечений, параллельные осям x, y, z.

Схемы напряженных состояний взять из таблицы 1 на выбор (не менее 4-х). Считать s1=s2=s3=1.



Похожие работы:

«Инструктивно-методическая документация по подготовке и проведениЮ ЕДИНОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО ЭКЗАМЕНАпо иностранным языкам (раздел "Говорение")В ПУНКТАХ ПРОВЕДЕНИЯ ЭКЗАМЕНОВ В 2015 ГОДУ (вЕРСИЯ 1.1) Листов 47 Москва 2015 СОДЕРЖАНИЕ TOC \o 1-2 \h \z \u ТЕРМИНЫ, ОПРЕДЕЛЕНИЯ И СОКРАЩЕН...»

«ДОГОВОРСЕРВИСНОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ И РЕМОНТА ОБОРУДОВАНИЯ № "" _ 201_ г.г. ФанипольООО Мир воды, РБ, именуемое в дальнейшем Исполнитель, в лице директора Янушкевича Д.И., действующего на ос...»

«Часто задаваемые вопросы в области безопасности и качества зерна Гладких Владимир Сергеевич. 13.06.2016 12.00 Вопрос: Административная ответственность за нарушения в области качества и безопасности зерна. Ответ: 13.06.20...»

«МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И МОЛОДЁЖНОЙ ПОЛИТИКИ СТАВРОПОЛЬСКОГО КРАЯ государственное бюджетное профессиональное образовательное учреждение "Ставропольский строительный техникум" Комиссия естественно математических дисциплинМЕТОДИЧЕСКАЯ РАЗРАБОТКАОТКРЫТОГО ВНЕАУДИТОРНОГО МЕРОПРИЯТИЯ "КВЕСТ ЗНАНИЙ" для студентов 1 курса очной формы обучения все...»

«государственное автономное профессиональное образовательное учреждение Чувашской Республики "Межрегиональный центр компетенций – Чебоксарский электромеханический колледж" Министерства образования и молодежной политики Чувашской Республики-3238528384500ОТЧЕТ ПО АПРОБАЦИИ экспериментальной основной образовательной программы среднего профессионал...»

«Приложение №1 к договору № _ от _ 20г. Техническая спецификация к договору на оказание услуг по охране объектов производственных зданий. Наличие лицензии на оказание охранных услуг, на территории РК. Организация контрольно-пропускного р...»

«Утверждены приказом Министра по инвестиции и развитию Республики Казахстан от "" _ 2015 года № Правила технической эксплуатации и ремонта гражданских воздушных судов Республики Казахстан1. Общие положения1. Правила технической эксплуатации и ремонта гражданских воздушных судов Республики Казахстан (да...»

«Вопросы к экзамену по химии для направления "Строительство"1. Предмет химии. Химия в строительстве. Определите количество карбоната натрия, необходимое для осаждения 100 г карбоната кальция из раствора хлорида кальция.2. Порядок восстановления кати...»

«Подтверждение документов об образовании и (или) о квалификации, об ученых степенях и ученых званиях (проставление апостиля) При использовании за рубежом российского документа об образовании и (и...»








 
2018 www.info.z-pdf.ru - «Библиотека бесплатных материалов - интернет документы»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 2-3 рабочих дней удалим его.